MathematiCSI: Mathematical Scene Investigation

Resumen: 

Este proyecto pretende mostrar algunos de los recursos que las matemáticas nos ofrecen para entender muchas situaciones de la vida real, así como para explicar y resolver problemas o situaciones enigmáticas en las que resulta sorprendente observar que las matemáticas están presentes.

El objetivo principal de esta actividad es conseguir que los/as participantes perciban que las matemáticas resultan imprescindibles para comprender el mundo que nos rodea. Descubrirán las ecuaciones diferenciales y en diferencias, una de las herramientas más utilizadas por los matemáticos para describir y comprender fenómenos reales y que enlazarán con problemas de otros ámbitos como la física, biología, economía…

Se ha elegido como hilo central del proyecto la resolución de una investigación policial ficticia, en la que se emplearán diversas técnicas cuya base fundamental son las matemáticas.

Con este hilo conductor se pretende que los/as participantes sientan la necesidad de conocer las técnicas matemáticas que les permitan resolver la investigación, lo que les llevará a profundizar en ellas y comprenderlas mejor.

Los aspectos generales a tratar serán los siguientes:

  • Conocer herramientas matemáticas para la representación y estudio de fenómenos reales.
  • Fomentar la búsqueda de patrones matemáticos en la vida real.
  • Desarrollar la habilidad e imaginación para construir modelos matemáticos que se ajusten a los problemas que necesitamos resolver.
  • Formular y resolver modelos matemáticos simples.
  • Simplificar procesos complicados, analizándolos a través de otros más sencillos.
  • Formular modelos con ecuaciones diferenciales y en diferencias sencillos.
  • Conocer algunos modelos continuos y discretos: modelos poblacionales, ley de enfriamiento de Newton…
  • Conocer códigos del campo de la criptografía y la genética.
  • Utilizar programas informáticos de cálculo simbólico que permitan interpretar y validar los resultados.
  • Aplicar todas las herramientas aprendidas a los problemas que vayan incorporándose a la investigación policial que centrará el proyecto.

En este proyecto se considera fundamental la participación activa del alumnado en todas las sesiones, pues se pretende que vayan construyendo la investigación policial progresivamente, lo que les permitirá profundizar más en aquellas técnicas o herramientas que vayan considerando necesarias.

1ª Sesión: 

El objetivo de esta primera sesión es plantear el problema que centrará la investigación del proyecto y comenzar a introducir las herramientas matemáticas necesarias.

Los contenidos se adaptarán a las circunstancias y nivel de cada uno de los grupos y participantes. Se tiene en cuenta que algunos de estos conceptos pueden ser totalmente desconocidos para los/as participantes, en cuyo caso, su introducción se hará de forma más intuitiva que formal.

Algunos de los aspectos generales a tratar son:

  • Concepto de modelo matemático.
  • Introducción de algunos modelos clásicos.
  • Modelos basados en sucesiones, su representación y el concepto de límite.
  • Modelización de problemas de la vida real mediante progresiones.
  • Representación de magnitudes por medio de funciones reales.
  • Introducción de códigos empleados en criptografía y su aplicación.

Se seguirá una metodología que busca la implicación de los/as participantes en todas las actividades propuestas. Se pretende que sean capaces de comprender problemas reales formulados en términos matemáticos y de interpretar el significado de cada variable presente en el modelo. Se pretende, asimismo, que consigan especificar mediante expresiones matemáticas las relaciones existentes entre dichas variables en ejemplos sencillos. Los/as estudiantes deberán de ser capaces de manejar a nivel elemental las herramientas informáticas de apoyo utilizadas,  que serán de utilidad para resolver las actividades propuestas.

2ª Sesión: 

En esta sesión se introducen las ecuaciones diferenciales y en diferencias, y con ellas muchos modelos que sirven para representar situaciones de la vida real.

Se pretende trabajar sobre los siguientes objetivos:

  • Interpretar el significado de los términos presentes en una ecuación diferencial y en una ecuación en diferencias.
  • Formular modelos sencillos empleando ecuaciones diferenciales y en diferencias, que se adecuen a un determinado fenómeno real.
  • Visualizar y comprender el significado del campo de direcciones de una ecuación diferencial.
  • Conocer algunos modelos continuos y discretos.
  • Introducir la ley de Newton del enfriamiento.
  • Utilizar programas de cálculo simbólico para la resolución de ecuaciones diferenciales.
  • Aplicar las técnicas descritas a casos concretos, de modo que se puedan realizar deducciones de interés en la investigación de un delito.

En general, se espera que los/as participantes consigan comprender el significado físico de los términos de una ecuación diferencial y de una ecuación en diferencias e interpretar los resultados obtenidos para predecir la evolución de un determinado proceso real, con la finalidad de obtener información de interés para la investigación.

3ª Sesión: 

La investigación policial que desarrollaremos en el proyecto tendrá como tema central un modelo poblacional para mosquitos formulado con ecuaciones en diferencias. En esta sesión se presentará el problema tanto desde un punto de vista biológico y social, como desde un punto de vista matemático.

Se trabajará sobre los siguientes objetivos:

  • Presentación de mosquitos transmisores de enfermedades como el dengue o el zika.
  • Modelización matemática de la competición entre especies o individuos de la misma especie. 
  • Modelización matemática de la supervivencia de una especie basándose en modelos experimentales.
  • Modelización matemática de la genética y fertilidad de una especie.
  • Construcción de un modelo matemático que describa la población de mosquitos del problema y su evolución.
  • Empleo de programas de cálculo simbólico para la obtención de gráficas y datos relativos al modelo necesarios para la investigación.
  • Comprensión de los comportamientos observados en el modelo y deducción de consecuencias.
4ª Sesión: 

El objetivo principal de esta sesión es la adaptación de todos los contenidos matemáticos tratados en las sesiones previas a la investigación policial que centra este proyecto.

La metodología de esta sesión persigue la que sean los/as participantes quienes decidan sobre el desarrollo de la investigación y seleccionen las herramientas adecuadas para la resolución de los conflictos de la investigación.

Se trabajará en los siguientes objetivos:

  • Reconocer la necesidad y utilidad de las herramientas matemáticas introducidas, fomentando su comprensión y su manejo.
  • Adaptar los modelos estudiados a los problemas concretos que conformen la investigación policial.
  • Extraer conclusiones para la investigación a partir de la información que nos aportan los modelos.
  • Incorporar diversos problemas matemáticos que se hayan resuelto en sesiones previas al hilo central de la historia.
  • Manejar el software necesario para el estudio de códigos y el análisis de datos.
  • Crear la presentación o el material necesario para la exposición de los resultados.
  • Trabajar la exposición en público y la transmisión de contenidos de carácter científico.
5ª Sesión: 

Esta última sesión está dedicada a la exposición del trabajo realizado durante la semana. Se pretende que los/as estudiantes sean capaces de explicar a sus compañeros/as los métodos y herramientas que han aprendido en las distintas sesiones y cómo los han empleado para la resolución de diversos problemas.

Esta exposición se realiza de forma conjunta con los/as participantes y profesorado de todos los proyectos que se llevan a cabo en el mismo campus de la Universidad de Santiago de Compostela. Se pretende que, además de presentar su propio trabajo, los/as estudiantes sean capaces de comprender el trabajo realizado por sus compañeros/as en ámbitos científicos diferentes.

Referencias recomendadas: 
  • Larson, Ron, Hostetller, Robert P., Cálculo Vol. I, 8ª Edición, McGraw-Hill, 2005.
  • R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Fundamentos de ecuaciones diferenciales, 2ª ed, Argentina : Addison-Wesley Iberoamericana, 1992.
  • Simmons, George F., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas, 2ª ed, Madrid : McGraw-Hill, 1999.
  • http://divulgamat.ehu.es/
  • http://es.wikipedia.org/wiki/Portal:Matemática
Lugar donde se desarrollará el proyecto: 
Universidad de Santiago de Compostela
Facultad de Matemáticas
Campus Vida
15782 Santiago de Compostela A Coruña
Campus: 
Departamento: 
Facultad de Matemáticas
Provincia: